5.5 モーメント

  2. 歪度と尖度

1次モーメント…0
2次モーメント…分散

3次モーメントの意味…は分散が同じです.

No.
f
1
4.3
2
 
 
 

これをグラフにしてみましょう.
同じ値のものがあれば,重ねて書きます.

すると曲線のような形で分布が得られます.

そして滑らかな曲線が得られます.
分布の形が得られます.

分散のとします.
もしこの曲線がのように歪んでいたとすると, 平均値は同じで分散も同じような歪みかたでなければならないので,右半分の面積は同じでなければなりません.
すると,平均値から離れた部分が大きくなるので,が増加してしまいます.
そこでのような曲線にすると左側が減るので,相対的には同じことになります.

ところが,2乗ではプラスマイナスだったものが,3乗になると離れることによって効果が非常に増えます.

ですから,歪まないものをとして少し歪んだものをとします.

すると,



と考えられます.

つまり



となります.



ですから3次のモーメントはどのぐらい歪んでいるか,という度合いをは表すことが出来ます.
そこで以上の例を踏まえて,

は 標準偏差を 「歪度(きょうど)(coefficient of skewness)」または,歪みといいます.


同様にして,は尖度に関係します.
つまり,下図のような分布がが同じで尖るということは,のように赤い部分を増やし,青い部分を減らします.すると,ものすごいピークが出来,尖ってきます.
すると,全体としてが同じになります.






3を引くのは,ちょうどこの時,後で説明する分布の時にちょうど良い値になるので,それに関係した係数を引いておきます.
これを「尖度(せんど)(coefficient of excess)」または,尖りといいます.