8.2 二項分布

  4. 二項分布の分散

平均値からの差の二乗,そうするとこれは先程の話では説明できません.

独立な確率変数を個書きます.



これは,



になります.
これの平均値ですね.

これは,



二乗というのは掛け算にします.
そうすると,これはこのように掛けていきます.
展開できます.

そうするとどうなるかというと,まずは二乗を全部持ってきましょう.



こういう形になります.
そして,これを全部バラしていくと,実はこれらは独立となります.
独立でなくてもバラせますのでについてはバラせます.

ですから,についてはいつでもバラせます.
足し算は中に入りますね.
独立でなくても入りますね.
ですから,



ここで,これを考えますと, は独立です.
そうするとこの部分は掛け算になります.



これもまた中に入れられますので,


 
これはの平均値です.
は定数ですので外置きます.
を掛けなくてもよいです.
掛けてもを付けたものと付けないものとは等しいですね.
これは前にやりました.
という文字を使った平均値,で,これは実はなのです.
これは,各々に対して平均値ですから,でこれは0ですね.
ですからこの分は全部0に,括弧は0に,これは0になってしまいます.

  

ですから,この個,



そしてこれは,どうなるかといいますと,



ですから,



ですからこれは,



こうなります.


そしてこれは0.
と等しいということは0と1の値しか取らないからです.





となります.
これが分散です.
二項分布の分散.
ですから二項分布の平均は,分散はということになります.

注意として,
一般にが確率変数で,互いに独立なら,



となります.

二項分布の式を直接証明することもできますがちょっとテクニカルです.
その点こちらの方はオーソドックスな考え方をしています.